Kolesnikov.net
Kolesnikov.net

Задачи Ферми

Энрико Ферми (1901-1954) итальянский физик, лауреат Нобелевской премии 1938г., в 1939г. эмигрировал в США. Иностранный член-корреспондент АН СССР с 1929г. Один из основных разработчиков "Проекта Манхэттен» (Manhattan Project)по созданию первой атомной бомбы.

Fermi's ID badge photo from Los Alamos

Фотография Энрико Ферми с пропуска в Лос-Аламосе.
Другие красивые фотографии Э.Ферми, в том числе и эту, можно найти в Википедии по адресу:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Ферми,_Энрико,
а также в английской и итальянской версиях. Там же можно найти образец подписи Э.Ферми.

Русский термин "задачи Ферми" имеет несколько похожих переводов на английский язык:

Fermi problem,
Fermi quiz,
Fermi question,
Fermi estimate,
order estimation
back-of-the-envelope calculation.

Еще есть парадокс Ферми (это про инопланетян) и множество физических понятий, связанных с именем Ферми (уровень Ферми, энергия Ферми и т.д.). Это надо иметь в виду, когда вы набираете имя Ферми в поисковой строке Google.

Первый уровень задач Ферми: как ничего не зная о предмете и обладая только общими знаниями, здравым смыслом и определенной долей наглости, определить, хотя бы приблизительно, с точностью до порядка, какую-либо величину. Или поймать оппонента, если величина не лезет ни в какие рамки.

Далее вы оттачиваете методику решения таких задач, набираетесь опыта и знаний, и ваши расчеты становятся гораздо точнее.

История про клочки бумаги, бросаемые при прохождении ударной волны, стала визитной карточкой Ферми. Ниже вы можете увидеть кадр из фильма "Бесконечность" (Infinity, другое название на русском: "Бесконечная любовь". Реж. Мэттью Бродерик. 1996г. 119 мин.) Вообще-то фильм про Р.Фейнмана.

Ферми работает со своими листочками во время первого атомного взрыва.

Друг Э.Ферми Э.Сегре, который на испытаниях был рядом с ним, пишет:

«Ферми встал и начал сыпать маленькие обрывки бумаги. Он подготовил простой эксперимент для измерения энергии взрыва: в спокойном воздухе обрывки бы упали к его ногам, а когда через несколько секунд после взрыва придет фронт ударной волны, они упадут несколькими сантиметрами (метрами?) дальше в направлении распространения ударной волны. По расстоянию до точки взрыва и смещению воздуха под воздействием ударной волны можно вычислить энергию взрыва. Эти вычисления Ферми проделал заранее, подготовив таблицу, по которой он мог сразу же определить энергию в результате такого грубого, но простого измерения… Этот случай настолько характерен для Ферми… Не менее характерно, что его ответ оказался очень близким к результату аккуратно проведенных официальных измерений. Но последний появился через несколько дней изучения записей, а Ферми получил свой через несколько секунд…» [Сегре1973,с.194]

Перед первый испытанием атомной бомбы 16 июня 1945г. на полигоне Тринити (штат Нью-Мексико) оценки ее мощности вырьировались от 0 (если бомба не сработает) до 1500 тонн ТНТ.

Ферми пишет в своем отчете [Fermi1945] (Фотокопия отчета приведена ниже):

Утром 16 июля я занял позицию в базовом лагере на расстоянии около 10 миль от места взрыва. Взрыв был произведен около 5:30...
Примерно через сорок секунд после взрыва взрывная волна настигла меня. Я попытался оценить мощность взрыва, бросая маленькие кусочки бумаги с высоты 6 футов до, во время и после прохождения взрывной волны. Так как в этот момент не было ветра, я смог четко измерить действительное перемещение кусочков бумаги во время их падения под действием взрывной волны. Их смещение составило около 2.5 метров, что должно было быть при взрыве по моей оценке 10 тысяч тонн тринитротолуола (ТНТ).

Расчеты с использованием более сложного оборудования, проведенные коллегами Ферми в течении нескольких дней, оценили мощность взрыва в 18.6 килотонн.

Остается вопрос: Как все-таки Ферми определил мощность взрыва? В общем, требуется оценить, какой метод использовал сам Ферми =:)

Известен ряд задач (вопросов) Ферми, которые он задавал своим студентам. Самым известным является задание:

Сколько настройщиков пианино в Чикаго?

Несмотря на то, что, кажется, данных о задаче совсем нет, это не так. Известна численность населения Чикаго во времена Ферми - это три миллиона человек. Известно среднее число человек в семье - это два или три человека. (Имеем миллион семей) Процент семей, имеющих пианино и пользующихся услугами настройщиков - от 3 до 10. Это самые тонкие и сложно определяемые цифры.  Возьмем 5%. (50000 настроек) Дальше - проще: берется частота настройки, скажем, раз в год, количество настроек в день и число рабочих дней в году. Настройка четырех инструментов в день при 250 рабочих днях в году (всего 365 минус 52 воскресенья, 52 субботы, несколько дней праздников) даст 1000 настроек в год и необходимость наличия 50 настройщиков. Что Ферми и проверял по "Желтым страницам" (или их аналогу). Конечно, количество пианино, требующих настройки (процент семей), определено очень приблизительно и, если подставлять границы интервала, результат получит большой разброс (от 30 до 100). Но это лучше, чем ничего, и позволит оценить порядок величины количества настройщиков.

Примерно таким же методом как Ферми считал настройщиков пианино в Чикаго, Санджой Махаджан считал водителей такси в Бостоне [Mahajan2014,p.76]. И так же как Ферми проверял это количество: Ферми по Желтым страницам, а Махаджан по количеству медальонов, выданных властями Бостона. К этому вопросу близка задача из [Хаббард2009,с.11-12] по определению емкости рынка страховок. Он называет ее "Вопросы Ферми для нового предприятия".

На следующем сайте обсуждаются вопрос как раскрыть метод, которым пользовался Ферми при определении мощности первого атомного взрыва:

https://www.quora.com/How-did-Fermi-estimate-the-power-of-the-Trinity-bomb

Еще один подход предложен в [Weinstein2012,p.169-171]. Здесь мощность взрыва оценивается в 1-4 кт.

Оценка мощности исходя из работы взрыва против атмосферного давления приведена в [Исакович1972,с.108-109]. Результат оценки совпадает с реальными данными для бомб данного типа. Однако, надо отметить, что первоначальные данные Ферми несколько отличаются от американских источников. В частности, бумажки улетели на 2.5 метра, а не 1, и Ферми находился в 16 км от эпицентра, а не в 10. Пересчет в соответствии с новыми данными приводит к мощности в 100 кт, что не соответствует оценке Ферми.

Также можно предположить использование для сравнения экспериментального неядерного взрыва, проведенного несколько ранее.

100-Tonn Test

100-Tonn Test. Пробный взрыв, проведенный 7 мая 1945г. для исследования эффектов взрыва и настройки измерительных приборов. Состоял в подрыве 110 тонн ТНТ на башне высотой 20 футов. Разбрасывал ли Ферми свои листочки во время этого взрыва? И на каком расстоянии от эпицентра он при этом находился?
Высоту башни можно проверить по среднему росту людей, стоящих на площадке, или по высоте ступенек лестницы на первом плане.
http://www.lanl.gov/newsroom/picture-of-the-week/pic-week-16.php


Определение мощности ядерного боезапаса по времени свечения огненного шара

http://tutankanara.livejournal.com/404864.html
Встретился старый советский плакат по данной теме. Первый взрыв в Тринити имел слишком малую мощность и не попал в данную таблицу.

Geoffrey Ingram Taylor (1886-1975) оценил мощность взрыва в 17 кт, не имея данных об американских измерениях и обладая только фотографиями взрыва, опубликованными в 1947г. https://thatsmaths.com/2014/09/18/how-big-was-the-bomb/



Список источников для задач Ферми

http://ru.wikipedia.org/wiki/Ферми,_Энрико

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Back-of-the-envelope_calculation

Хаббард Д. Как измерить все, что угодно. Оценка стоимости нематериального в бизнесе.- Пер. с англ. Е.Пестеревой - М.: ЗАО "Олимп-Бизнес", 2009. с.9-11.
Hubbard, Douglas D.: How to measure anything: finding the value of intangibles in business. - Hoboken, New Jersey: John Wiley and Sons, 2014. Первое издание в 2007, второе - 2010. Русский перевод с первого издания.

Hans Christian von Baeyer: The Fermi Solutions. - New York: Random House, 1993. - 173p. (pp.3-12)

Паундстоун У. Действительно ли вы умны, чтобы работать в Google? Коварные вопросы, головоломки в стиле дэен, предельно сложные задачи и другие сбивающие с толку приемы, которые применяют на собеседованиях и которые очень полезно знать, если вы хотите получить работу и найти свое место в новой экономике. - Пер. с англ. В.Егорова. - М.: Карьера Пресс, 2013. - 400с. Библиогр. с.382-387. (Глава 8. Доктор Ферми и инопланетяне. с. 155-165)
Poundstone W.: Are You Smart Enough to Work at Google?: Trick Questions, Zen-like Riddles, Insanely Difficult Puzzles, and Other Devious Interviewing Techniques You Need to Know to Get a Job Anywhere in the New Economy. - New York, Boston, London: Little, Brown and Company, 2014. - 292p. (First edition 2012).

Паундстоун2014: Паундстоун У. Найти Умного. Как проверить логическое мышление и творческие способности кандидата. - М.: АЛЬПИНА ПАБЛИШЕР, 2014. - 266с.
Ориг. назв.: How Would You Move Mount Fuji? : Microsoft's Cult of the Puzzle—How the World's Smartest Companies Select the Most Creative Thinkers. - New York, Boston, London: Little, Brown and Company, 2004. - 276p.

Другое издание и название:

Паундстоун У. Как сдвинуть гору Фудзи? Подходы ведущих мировых компаний к поиску талантов.- М.: Альпина Бизнес Букс при содействии Headhunter.ru, 2004.
Ориг. назв: How Would You Move Mount Fuji? : Microsoft's Cult of the Puzzle—How the World's Smartest Companies Select the Most Creative Thinkers

Aaron Santos: How many licks? Or, How to estimate Damn near anything. - Philadelphia, London, 2009. - 176p.

Sanjoy Mahajan(1969-): The art of insight in science and engineering. Mastering complexity. - Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2014. - 390 p. Библиогр. p.359-361 (50 назв.)

Weinstein, Lawrence (1960-): Guesstimation 2.0: solving the today’s problems on the back of a napkin. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2012. - 360 p. (Atomic bomb and confetti, p.169-171)

Guestimation 2.0 p.170.jpg

Hans Christian von Baeyer: The Fermi Solutions. - New York: Random House, 1993. - 173p. (1.The Fermi Solution,p.3-12)

Гровс Л. Теперь об этом можно рассказать. - Сокращенный перевод с английского О.П. Бегичева - М.: Атомиздат, 1964. - 304c. (Глава 21. Аламогордо)
Leslie R. Groves: NOW IT CAN BE TOLD. The story of Manhattan project. - New York: Harper & Brothers Publishers, 1963.

Взрыв произошел сразу же после отсчета "ноль" в 5 часов 30 минут 16 июля 1945 г. Моим первым впечатлением было ощущение очень яркого света, залившего все вокруг, а когда я обернулся, то увидел знакомую теперь многим картину огненного шара. Первой моей, а также Буша и Конэнта реакцией, пока мы еще сидели на земле, следя за этим зрелищем, был молчаливый обмен рукопожатиями. Вскоре, буквально через 50 секунд после взрыва, до нас дошла ударная волна. Я был удивлен ее сравнительной слабостью. На самом деле ударная волна была не такой уж слабой. Просто вспышка света была так сильна и так неожиданна, что реакция на нее снизила на время нашу восприимчивость.

Ферми в тайне от всех приготовил очень простое приспособление для измерения силы взрыва -- клочки бумаги. Когда подошла ударная волна, я видел, как он выпустил их из руки. У земли ветра не было, поэтому ударная волна подхватила и отбросила их. Ферми отпускал их с определенной высоты, которую он заранее измерил, поэтому ему нужно было теперь только знать, на каком расстоянии они упали на землю. Он еще раньше вычислил зависимость силы взрыва от расстояния до него. Теперь, смерив расстояние до места, где упали клочки бумаги, он тотчас объявил, Какова была мощность взрыва. Его расчет совпал с данными, Полученными позднее на основе показаний сложных приборов.

Накануне вечером я был несколько раздражен поведением Ферми, когда он вдруг предложил своим коллегам заключить пари -- подожжет ли бомба атмосферу или нет, и если подожжет, то будет ли при этом уничтожен только штат Нью-Мексико или весь мир. "Не так уже важно, -- говорил он, -- удастся взрыв или нет, все равно это интересный научный эксперимент, так как в случае неудачи будет установлено, что атомный взрыв невозможен".



Сегре Э. Энрико Ферми. Физик. - М.: Мир, 1973.- 328с.

Исакович М.А. Общая акустика. Учебное пособие.- М.: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 496с. (с.108-109)

Исакович М.А. Общая акустика, с.108-109.

Fermi Е.: My Observations During the Explosion at Trinity on July 16, 1945// U.S. National Archives, Record Group 227, OSRD-S1 Committee, Box 82 folder 6, “Trinity.”

Fermi Observation

Deakin, Michael A.B. (2011) G.I. Taylor and the Trinity test, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42:8, 1069-1079, DOI: 10.1080/0020739X.2011.562324
http://dx.doi.org/10.1080/0020739X.2011.562324

G.I. Taylor, The formation of a blast wave by a very intense explosion: I. Theoretical discussion. Proc. Roy. Soc. A 201 (1950), pp. 159-74 [Reprinted in The Scientific Papers of Sir Geoffrey Ingram Taylor, Vol. 3, G.K. Batchelor, ed., Cambridge University Press, Cambridge, pp. 493–509].
http://www3.nd.edu/~powers/ame.90931/taylor.blast.wave.I.pdf

G.I. Taylor, The formation of a blast wave by a very intense explosion: II. The atomic explosion of 1945. Proceedings of the Royal Society A 201, 1950, pp. 175-86 [Reprinted in The scientific papers of Sir Geoffrey Ingram Taylor, G.K. Batchelor. ed., Vol. 3, Cambridge University Press, pp. 510–521].
http://www3.nd.edu/~powers/ame.90931/taylor.blast.wave.II.pdf

Итого: 16.8 тыс. тонн, не считая радиации.

Mack, J. E. 1947 Semi-popular motion picture record of the Trinity explosion. PlIDDC221. U.S. Atomic Energy Commission. 44 pages
https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015074121206;view=1up;seq=1

Эти фотографии использовал Тейлор, если судить по источникам в его статье.

Fermi Remembered. Edited by Cronin, James W. - Chicago, London: The University of Chicago Press, 2004. - 288p.

Segre2016: Segrè Gino, Bettina Hoerlin The Pope of Physics: Enrico Fermi and the Birth of the Atomic Age. - New York: Henry Holt and Company, 2016. - 354p.

Schwartz2017: Schwartz, David N. (1956-) The Last Man Who Knew Everything: The Life and Times of Enrico Fermi, Father of the Nuclear Age. - New York: Basic Books, 2017.

FermiBooks



Morrison.Letters.1963: Philip Morrison, Letters to the Editor, Am. J. Phys., August 1963, v31n8 p626-627

Philip Morrison (1915-2005):
https://en.wikipedia.org/wiki/Philip_Morrison
https://ru.wikipedia.org/wiki/Моррисон,_Филип
https://history.nasa.gov/EP-125/part3.htm>

Примеры задач Ферми:

How much does a watch gain or lose when carried up a mountain?
Как поведут себя часы горах: будут спешить или идти медленнее и на сколько?

How many piano turners are there in the city of Chicago?
Сколько настройщиков пианино в городе Чикаго?

What is the photon flux at the eye from a faint visible star?
Сколько фотонов попадает в глаз от слабо различимой звезды?

How far can a crow fly?
Как далеко может полететь ворона?

How many atoms could be reasonably claimed to belong to the jurisdiction of the United States?
Сколько атомов относится к юрисдикции Соединенных Штатов?

What is the output power of a firefly, a French horn, an earthquake?
Какова мощность жука-светлячка, музыкальной трубы, землетрясения?



Adam.Guesses.1995: John A. Adam: Educated Guesses (Fermi Problems)// Quantum: The Magazine of Math and Science, Sept/Oct 1995, p.20-24.
https://www.nsta.org/publications/quantum.aspx

Adam A. John: X and the City
[Изображение с суперобложки Adam A. John: X and the City. - Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2012. - 319p.]

Ссылается на три источника:
David Halliday: Ballpark Estimates//Quantum (may, 1990).
Сколько молекул резины стирается за один оборот колеса?
John Allen Paulos: Innumeracy.
John Harte: Consider a Spherical Cow.

1. How many golf balls does it take to fill a suitcase?
Сколько мячей для гольфа наполнят чемодан?

2. How many pieces of popcorn does it take to fill a room?
Сколько кусочков попкорна заполнят комнату?

3. How many soccer balls would fit in an average-size home?
Сколько футбольных мячей поместится в средних размеров доме?

4. How many cells are there in a human body?
Сколько клеток в человеческом теле?

5. How many grains of sand would it take to fill the Earth?
Сколько нужно взять песчинок, чтобы заполнить ими всю Землю (именно всю, а не только поверхность)

6. What is the volume of human blood in the world?
Какой объем занимает вся человеческая кровь?

7. How many one-gallon buckets are needed to empty Loch Ness (and thus expose the monster)?
Сколько нужно одногаллоных ведер, чтобы вычерпать все озеро Лох-Несс в Шотландии и оставить чудовище без воды?

{По данным из Wikipedia и интернета площадь озера Лох-Несс составляет 56 км2. Максимальная глубина составляет 230м.
Средняя глубина - 132 м. Средняя глубина по определению - отношение объема воды к площади поверхности.
Объем воды в озере:
7.4 км3 = 7.4*109 м3 = 7.4*1012 литров
Поскольку в галлоне примерно 3.8 литра, то нам потребуется 2*1012 одногаллоных ведер, чтобы вычерпать озеро Лох-Несс.
Если набирать 1 ведро в секунду, то потребуется где-то 63 тыс. лет. Данный способ вряд ли позволит в обозримое время очисть озеро от воды.}

8. One gallon of paint is used to cover a building of area A. How thick is the coat?
Одним галлоном краски покрасили здание площади A. Какова толщина слоя краски?
{Не очень понятно: A - площадь здания или площадь покрашенной поверхности?}

9. How much dental floss does a convict need?
Сколько нужно упаковок зубной нити, чтобы заключенные свили из нее веревку и спустились со стены высотой 18 футов?
Такой случай действительно произошел. Заключенные свили трос, толщиной с телефонный шнур и спустились со стены.

{ В статье приняты следующие исходные данные:
Толщина зубной нити (флосса) 0.5 мм при стандартной длине в 55 ярдов. Длину нити померить легко: вытащить из коробки и воспользоваться рулеткой или линейкой.
Толщину измерить сложнее. Хотя она может быть написана на коробке.
Толщина телефонного кабеля взята за 4 мм.
Тогда для толщины 1 мм необходимо взять четыре нити, а для 4 мм потребуется примерно 64 нити.
Переведем футы в метры и ярды в метры:
18 футов = 5.5 метров - это высота стены.
55 ярдов = 50 метров - это длина одной нити.

50/5.5 = 9, одну нить можно свернуть 9 раз.
64/9 = 7.1 - потребуется упаковок.
Я бы для надежности взял 8 упаковок. Авторский ответ: 7.}

10. Estimate the number P of piano tuners in a certain city or region.
Оцените число настройщиков пианино в определенном городе или регионе.

11. Estimate the number C (for cobbler) of shoe repairers in a city or region.
Оцените число сапожников, которые ремонтируют обувь в каком-либо городе.

12. Estimate how fast human hair grows (on average) in mph.
Оцените скорость роста человеческих волос в среднем в милях в час (километрах в час).

13. Estimate the number of cigarettes smoked annually in the US.
Оцените число сигарет, выкуриваемых ежегодно в США.

14. The asteroid problem. In the light of the impact of ex-commet Shoemaker-Levy on Jupiter's outer atmosphere, the question has been raised: could it happen here on Earth?
Задача (или уже проблема) астероида.
Комета Шумейкера-Леви упала на Юпитер в 1994г. Перед падением она распалась на 21 часть, каждая размером не более 2 км в диаметре. Могло ли это произойти на Земле?

15. Thickness of an oil layer.
Толщина слоя масла, растекшегося по поверхности воды. Еще Бенджамин Франклин заметил, что 0.1 см2 масла растекается на поверхности до 40 м2.

16. The number of leaves on tree.
Число листьев на дереве.

17. Weekly supermarket revenue.
Ежедневная выручка супермаркета.
Адам рассматривает как среднее количество работающих касс, количество посетителей в кассе, средний чек и количество рабочих дней в неделе.

18. Daily death rate in a city or region.
Ежедневный уровень смертности в городе.

19. The number of blades of grass on the Earth.
Число травинок на Земле.

20. What is the average depth of tread lost per revolution of a car tire?
Сколько в среднем стирается резины при одном обороте колеса?

21. Population Square.
Площадь населения. Если все население Земли согнать на одну площадь, то каковы будут ее размеры. При этом предлагается разместить людей хоть и стоя, но комфортно. (На кв. метре четырех человек)

22. Human surface area and volume.
Какие поверхность и объем всех людей?

23. The average rate of growth of a child from birth to 18 years.
Средняя скорость роста ребенка до 18 лет. Как обычно, предлагается выразить ее в км/ч.

24. Mean distance between two civilizations.
Среднее расстояние между цивилизациями.

Redish.Maryland.2002: E. F. Redish: University of Maryland Fermi Problems Site
http://www.physics.umd.edu/perg/fermi/fermi.htm

Publications about Fermi problems.
http://www.physics.umd.edu/perg/fermi/fermref.htm

Charity.Envelope.1997: Mitchell N Charity: A View from the Back of the Envelope
http://www.vendian.org/envelope/dir0/fermi_questions.html



10.12.2018 *** Главная страница

Более ранние редакции:
26.11.2018
12.11.2018
05.11.2018
06.07.2017
23.06.2017
30.05.2017
19.03.2017
04.03.2017
27.02.2017
27.07.2016